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LOS NÚMEROS NATURALES

MATEMÁTICA DE 6º

 Luis Fernando Posada Martínez 

Los números naturales

Historia de los naturales

Aunque hoy en día nos es muy familiar el concepto de número, éste fue elaborado muy lentamente  a través  de los tiempos. Habían casos en los que solo existía un nombre para cantidades menores que tres, a las demás cantidades le decían muchos o incontables.

Si retrocedemos en el tiempo de las cuatro grandes civilizaciones del mundo: Babilonia, Egipto, Grecia y Roma, veremos que los babilonios y griegos  desarrollaron elevados conocimientos matemáticos.

Los Babilonios para poder realizar importantes obras agrícolas y arquitectónicas, tuvieron que desarrollar hacia el siglo XXII antes de Cristo (a de c) un sistema de numeración útil. Cuando los babilonios necesitaban hacer una repartición exacta no había problema, pero cuando era inexacta se complicaba la cosa. En estos casos los babilonios  utilizaban un número decimal, mientras los egipcios utilizaban fracciones.

Aunque los Egipcios no hicieron aportaciones tan importantes y significativas como los griegos  a los números,  se ha encontrado un interesante documento donde se descubrió que  ya manejaban algunas fracciones sencillas.

De todos los pueblos de la antigüedad, los Griegos fueron los que dieron los aportes más  valiosos en el   desarrollo   del   concepto  de número, ya que  la escuela pitagórica descubrió  que solamente  con los números naturales y los fraccionarios no pueden desarrollarse todas las  medidas posibles.

 

Fueron los chinos quienes desarrollaron el concepto de número negativo en el siglo III a de c. Siglos después  en la india se fraguaron los orígenes de nuestro sistema de numeración.

El ser humano después  de tener un sistema numérico determinado  lo utilizó  para realizar cuentas, contabilizar pérdidas y ganancias  de todas sus actividades económicas.  Para lograr  todo esto tuvo una herramienta de gran utilidad: LOS NÚMEROS NATURALES, pues con estos podía representar de una forma cómoda y rápida todas las cantidades  que manejaba.

A lo largo de toda la historia, los números naturales  fueron utilizados por grandes matemáticos  que hicieron grandes  aportes:

·         Thales de Mileto

·         Pitágoras

·         Fermat

·         Gauss

Los naturales

La primera operación matemática que realizó el hombre fue, sin duda, la de contar.  Los naturales se cuentan desde ¨ cero ¨ y se forman sumando ¨ uno ¨ cada vez al número anterior, es decir:

0,0+1,1+1,2+1,3+1,4+1,5+1,………………………………n+1 

Los naturales son un conjunto y como tal se representarán por la letra mayúscula N, es decir:

Los puntos suspensivos  indican que el conjunto N tiene infinitos elementos. Con los naturales se puede identificar muchas cosas: El  número de una casa, el número telefónico, códigos postales, entre otras cosas. Para contar elementos, objetos, personas, años, meses, etc, utilizaremos el cardinal.

Representación gráfica de los naturales

Para representar gráficamente los números naturales se trazará una semirrecta (Línea que tiene principio, pero no tiene fin) cuyo origen es el número ¨ cero ¨. Luego se escriben los demás números consecutivamente, conservando la misma distancia entre uno y el otro.

La semirrecta que se utiliza para representar los naturales, se llamará  semirrecta  numérica.

Orden en los naturales

Los naturales pueden ser útiles a la hora de ordenar fechas, placas de vehículos, direcciones de casas, entre otras. El antecesor de un número natural es exactamente una unidad menor y el sucesor es exactamente una unidad mayor. 

            Sean 2 números naturales  a y b, entonces puede ocurrir que:

            1)        a  >  b     ¨ a es mayor que b, si a se encuentra a la derecha    de   b ¨, es    decir:

       

                 

            2)        a  <  b     ¨ a es menor que b, si a se encuentra a la izquierda       b ¨, es    decir: 

                   

  

Existen algunos criterios para comparar  números  naturales:

         Si los números naturales tienen diferente cantidad de cifras, es mayor aquel número que tiene mayor cantidad de ellas. Ejemplo

a)        12 y 121,     de donde   12   <   121

b)        1110 y 11110,  de donde 1110  <   11110

              Si los números naturales tienen  la misma cantidad de cifras, primero se comparan las unidades de mayor orden, si estas son iguales se comparan las que siguen y así sucesivamente. Es mayor aquel número que tenga, en el orden donde los dígitos sean distintos, el número   mayor.  Ejemplo

a)        21233  y   21234, de donde   21233  <  21234

b)        3451  y  3441, de donde  3451  >  3441

Historia   Sistemas de numeración  Numeración decimal Orden en los N 

Orden en los N   Orden  Valor posicional   Valor posicional II

Operación con los naturales

Las operaciones básicas que haremos con los naturales son la suma, resta, multiplicación y división.

Suma y resta de naturales

            Para sumar o restar  números naturales  se deben de aplicar una serie de propiedades  de gran importancia: Clausurativa,conmutativa, asociativa, uniforme, modulativa.

Ley clausurativa

                Al sumar dos números naturales, siempre se obtiene otro número natural, es decir:           

        

Ley conmutativa

Al sumar  números naturales, se puede cambiar el orden de los sumandos  y el resultado no cambia, es decir:

Ley asociativa

Al sumar naturales, los podemos asociar o agrupar de diferentes formas y el resultado siempre es el mismo número natural, es decir:

                      

 Ley modulativa

Al sumar un número natural  con el módulo, se obtiene el mismo número natural. El módulo de la suma es el número ¨ cero ¨, es decir:

Ley uniforme

En toda igualdad podemos sumar a ambos lados un mismo número natural, obteniendo otra igualdad, es decir: 

Resta de naturales

Para poder restar números naturales, se debe cumplir que:

 MINUENDO (M)  -   SUSTRAENDO (S)   =   DIFERENCIA (D)

Donde el minuendo debe ser siempre mayor o igual al sustraendo.  Ejemplo

Signos de agrupación

Los signos de agrupación se utilizan para reunir o agrupar  cantidades y facilitar el cálculo matemático. Entre los principales signos de agrupación tenemos:

Al eliminar signos de agrupación, primero se debe empezar con los signos más internos, es decir de adentro hacia afuera.

Suma de naturales: Cálculo mental    Resta de naturales: Cálculo mental 

Signos de agrupación              Resta    Suma animada           Sumas y restas: Animación

Ecuaciones y problemas en los naturales

Ecuaciones

        

Cuando se habla de una ecuación, nos referimos a una igualdad donde al menos  uno de sus términos es desconocido. Este término desconocido se llamará variable o incógnita.  Ejemplo

1)       X  +  5   = 20             3)        20  -  Z   =  10

2)       Y  -  20  = 30             4)        10  -  X   =  5

Para resolver ecuaciones se hace un procedimiento, aplicando una serie de pasos:

1)       Se despeja la variable, es decir  que se busca dejarla sola

2)       Se aplican las propiedades de la  suma  (resta)  de naturales

3)       Sí un natural está sumando, pasa al otro lado de la igualdad restando o viceversa.

4)       Se hace la prueba para verificar que se cumple una igualdad

               Ejemplo

1)     X  +    5        =   20          

         X  +  5  -  5   =  20  -  5         Ley uniforme

         X  +   0         =  15                Clausurativa y asociativa

         X                  =  15                Modulativa

               Prueba:     Si X = 15

X +  5   = 20

15  + 5  = 20

20         =  20

2)     Y  -    20         =   30      

         Y  -  20  + 20  =  30  + 20    Ley uniforme

         Y  +   0           =  50             Clausurativa y asociativa

         Y                    =    50           Modulativa

               Prueba:     Si Y = 50

Y  -  20     =   30

50  -   20    =  30

30              =  30

3)     20  -    X       =   10         

         20  -  X + X  =  10 + X          Ley uniforme

         20  +   0       =  10 + X          Clausurativa y asociativa

         20                =  10 + X          Modulativa

         X + 10          =  20                Conmutativa

         X + 10 – 10  = 20 - 10          Ley uniforme

         X  +   0         =  10                Clausurativa y asociativa

         X                  =  10                Modulativa

               Prueba:     Si X = 10

20 -  X    = 10

20  - 10  = 20

10          = 10

4)     2X  -   40       =   5  + X        

         2X  - X - 40   =   5 + X - X    Ley uniforme

         X  -   40         =  5 + 0          Clausurativa y asociativa

         X  -   40         =  5                Modulativa

         X  - 40 + 40   =  5 + 40        Ley uniforme

         X  +  0           =  45              Clausurativa y asociativa

         X                   =  45              Modulativa

               Prueba:     Si X = 15

X +  5   = 20

15  + 5  = 20

20         =  20

Problemas de aplicación

              

Para  resolver problemas en los naturales, primero  se  debe identificar la cantidad desconocida y luego formar una ecuación.

Ejemplo

1)       Un número natural, sumado  con 40 da como resultado  65

Sea  Y   un número natural

Y   +  40          =  65             Ecuación formada

Y   +  40  - 40  =  65  -  40               Ley uniforme

Y   +  0            =   25             Asociativa y clausurativa

Y                     =   25             Modulativa

Prueba:        Si Y = 25

Y +  40   = 65                       Rta:  El número natural es 25

25 + 40  = 65

65          =  65

2)       La diferencia entre la edad de un padre  y su hijo son 28 años. Sí el hijo tiene 12 años, ¿cuántos años tiene el padre?

Sea  X  la edad del padre

X    -    12        =  28             Ecuación formada

X   -   12 +12   =  28 +  12               Ley uniforme

X   +  0            =   40             Asociativa y clausurativa

X                     =   40             Modulativa

Prueba:        Si X = 40

X -    12   = 28           Rta: La edad del padre es de 40 años

40 – 12   = 28

28           = 28

Ecuaciones animadas    Ecuaciones. Suma